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1.（第八届，初赛）
曲面 z=\dfrac{x^2}{2}+y^2 平行于平面 2x+2y-z=0 的切平面方程为：
2.（第一届，初赛）
曲面 z=\dfrac{x^2}{2}+y^2-2 平行于平面 2x+2y-z=0 的切平面方程为：
3.（第六届，初赛）
设有曲面 S:z=x^2+2y^2 和平面 \pi:2x+2y+z=0 ，则与 \pi 平行的 S 的切平面方程为：
4.（第四届，决赛）
过直线 \left\{ \begin{array}{c} 10x+2y-2z=27\\[2ex] x+y-z=0\\ \end{array} \right. 作曲面 3x^2+y^2-z^2=27 的切平面，求此切平面的方程.
5.（第九届，决赛）
设一平面过原点和点 (6,-3,2) ，且与平面 4x-y+2z=8 垂直，则此平面方程为：
6.（第四届，初赛）
求通过直线 L:\left\{ \begin{array}{c} 2x+y-3z+2=0\\[2ex] 5x+5y-4z+3=0\\ \end{array} \right. 的两个相互垂直的平面 \pi_1 和 \pi_2 ，使其中一个平面过点 (4,-3,1) .
7.（第八届，决赛）
过单叶双曲面 \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}-2z^2=1 和球面 x^2+y^2+z^2=4 的交线且与直线 \left\{ \begin{array}{c} x=0\\[2ex] 3y+z=0\\ \end{array} \right. 垂直的平面方程为：
<hr/>1.（第八届，初赛）
曲面 z=\dfrac{x^2}{2}+y^2 平行于平面 2x+2y-z=0 的切平面方程为：
【解】曲面的一般形式为 F(x,y,z)=\dfrac{x^2}{2}+y^2-z
其法向量 \vec n_1=(x,2y,-1)\\平面的法向量 \vec n_2=(2,2,-1)\\
可知 \vec n_1 平行于 \vec n_2 ，即 \dfrac{x}{2}=\dfrac{2y}{2}=\dfrac{-1}{-1}\Rightarrow x=2,y=1\\代入曲面方程得 z=3 ，所以曲面上 (2,1,3)处切平面与已知平面平行，可得切平面方程为： 2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0\Rightarrow 2x+2y-z=3\\
2.（第一届，初赛）
曲面 z=\dfrac{x^2}{2}+y^2-2 平行于平面 2x+2y-z=0 的切平面方程为：
【解】（与第1题一样，就不写了）
3.（第六届，初赛）
设有曲面 S:z=x^2+2y^2 和平面 \pi:2x+2y+z=0 ，则与 \pi 平行的 S 的切平面方程为：
【解】曲面 S 的一般形式为 F(x,y,z)=x^2+2y^2-z
其法向量为 \vec n_1=(2x,4y,-1)\\平面 \pi 的法向量为 \vec n_2=(2,2,1)\\
可知 \vec n_1 平行于 \vec n_2 ，即 \dfrac{2x}{2}=\dfrac{4y}{2}=\dfrac{-1}{1}\Rightarrow x=-1,y=-\dfrac{1}{2}\\ 代入曲面方程得 z=\dfrac{3}{2} ，所以曲面上 (-1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}) 处切平面与已知平面平行，可得切平面方程为： 2(x+1)+2(y+\dfrac{1}{2})+(z-\dfrac{3}{2})=0\Rightarrow 2x+2y+z+\dfrac{3}{2}=0\\
4.（第四届，决赛）
过直线 \left\{ \begin{array}{c} 10x+2y-2z=27\\[2ex] x+y-z=0\\ \end{array} \right. 作曲面 3x^2+y^2-z^2=27 的切平面，求此切平面的方程.
【解】曲面的一般形式为 F(x, y, z)=3x^2+y^2-z^2-27
其法向量为 \vec n_1=(3x,y,-z)\\
设过直线的平面束方程为 10x+2y-2z-27+\lambda(x+y-z)=0\\其法向量为 \vec n_2=(10+\lambda,2+\lambda,-2-\lambda)\\设所求切点为 P(x_0,y_0,z_0) ，则 \left\{ \begin{array}{c} \dfrac{10+\lambda}{3x_0}=\dfrac{2+\lambda}{y_0}=\dfrac{2+\lambda}{z_0}\\[2ex] 3x_0^2+y_0^2-z_0^2=27\\[2ex] 10x_0+2y_0-2z_0-27+\lambda(x_0+y_0-z_0)=0\\ \end{array} \right. \\解得 x_0=3,y_0=1,z_0=1,\lambda=-1 或 x_0=-3,y_0=-17,z_0=-17,\lambda=-19
所以切平面方程为 9x+y-z-27=0\\或 9x+17y-17z+27=0\\
5.（第九届，决赛）
设一平面过原点和点 (6,-3,2) ，且与平面 4x-y+2z=8 垂直，则此平面方程为：
【解】因为平面过原点，所以可设平面方程为 F(x,y,z)=Ax+By+Cz\\
其法向量为 \vec n_1=(A,B,C)\\
将点 (6,-3,2) 代入平面方程得 6A-3B+2C=0\\ 已知平面的法向量为 \vec n_2=(4,-1,2)\\ 因为两平面相互垂直，所以 \vec n_1\bot \vec n_2 ，即 4A-B+2C=0\\ 解得 A=0,B=0,C=0\\ 于是，平面方程为 F(x,y,z)=0\\ 6.（第四届，初赛）
求通过直线 L:\left\{ \begin{array}{c} 2x+y-3z+2=0\\[2ex] 5x+5y-4z+3=0\\ \end{array} \right. 的两个相互垂直的平面 \pi_1 和 \pi_2 ，使其中一个平面过点 (4,-3,1) .
【解】设过直线的平面束方程为 \lambda(2x+y-3z+2)+\mu(5x+5y-4z+3)=0\\\Rightarrow (2\lambda+5\mu)x+(\lambda+5\mu)y-(3\lambda+4\mu)z+(2\lambda+3\mu)=0\\ 若平面 \pi_1 过点 (4,-3,1) ，代入可得 \lambda+\mu=0\\ 所以平面 \pi_1 的方程为 3x+4y-z+1=0\\ 因为两平面相互垂直，所以 3\cdot(2\lambda+5\mu)+4\cdot(\lambda+5\mu)+1\cdot(3\lambda+4\mu)=0\\ 解得 \lambda+3\mu=0\\ 所以平面 \pi_2 的方程为 x-2y-5z+3=0\\
7.（第八届，决赛）
过单叶双曲面 \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}-2z^2=1 和球面 x^2+y^2+z^2=4 的交线且与直线 \left\{ \begin{array}{c} x=0\\[2ex] 3y+z=0\\ \end{array} \right. 垂直的平面方程为：
【解】直线 \left\{ \begin{array}{c} x=0\\[2ex] 3y+z=0\\ \end{array} \right. 的方向向量为 \vec s=(1,0,0)\times(0,3,1)=(0,-1,3)\\ 因为所求平面与直线垂直，所以所求平面的一个法向量为 \vec n=(0,-1,3)\\ 交线上取一点 P(2,0,0) ，于是可得所求平面方程为
0\cdot(x-2)-1\cdot(y-0)+3\cdot(z-0)=0\Rightarrow y-3z=0\\ |
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发表于 2022-11-20 13:23:39