拂晓的安魂曲：一个从极坐标系开始的故事(4)

古西安

极坐标系的升维

在上一篇文章中，我们介绍了通过平移拉伸和绕某个特定轴旋转对任意一个平面正交曲线坐标系升维的办法。我们下面会利用这些办法，对之前讲过的坐标系进行升维。顺便一提，上一篇文章中提到的“四圆坐标系”及其衍生的三维坐标系，是确切存在英文名称的，只不过其英文名称背景一定程度上来源于复变函数领域，本文在目前暂时不会涉及该领域的知识，所以对其进行了选择性的回避。我们在上一篇文章中也提到过，平面正交曲线坐标系远不止这几种，利用复变函数，我们可以构造出更多数不清的正交平面曲线坐标系，例如“正交心形线坐标系”。这些坐标系经过平移和旋转又可以变成新的三维坐标系。这一类坐标系应用实在太少，所以本文不会对其详细介绍。这一类极其罕见的坐标系中，很多偏微分方程无法分离变量，所以应用场合非常罕见。如果大家确实有需要、确实对这方面的数学感兴趣，在本文的末尾，我们会附上一本参考书目，大家可以购买阅读这本参考书来获取相关知识。这本书中提及了更多本文未曾涉及到的罕见坐标系，其中一些坐标系的坐标变换甚至包含非初等的函数。但是很可惜，这本书没有中译本，我们也暂时不想将其全文翻译搬运到网络论坛上。所以，阅读这本书需要你有一定的语言基础。
言归正传，我们首先来对最简单的极坐标系进行升维操作。
前面讲过，坐标系的升维操作有三种方式：平移拉伸、将 x 轴改名为 z 轴绕其旋转、将 y 轴改名为 z 轴绕其旋转。下面就对极坐标系进行这三种操作。
首先是平移拉伸，升维后的坐标系是柱坐标系： \begin{cases} &x=\rho\cos\theta\\ &y=\rho\sin\theta\\ &z=z\\ \end{cases} \tag{1} 所有的平面正交曲线坐标系都可以这样升维成柱坐标系，之后对于这种最简单的升维操作，我们就不再过多介绍。
然后就是绕转操作。极坐标系的等值曲线之一是以原点为圆心的同心圆，这就导致了绕 x 轴和绕 y 轴旋转形成的坐标系没有本质上的区别，所以绕哪一个轴转都一样。



图一：球坐标系的坐标曲面

上图[1]展示的就是极坐标系旋转后的结果：一个等值曲线变成球面、一个等值曲线变成圆锥面。这个时候两个等值曲面相交就形成了一个平行于 xOy 平面的圆环。拿 \varphi 坐标半平面去截这个圆环，就得到了三维空间中的唯一点。
虽然极坐标系绕哪一个轴转本质上都一样，但是这就恰恰导致了极坐标变换公式的不唯一性。许多人在看不同的书时都会为不同的极坐标系变换公式而苦恼，事实上这没有必要。只要知道原理，是不用死记变换公式和其导出结论的。
我们一般是以 x 轴作为旋转轴操作，这时变换公式为： \begin{cases} &x=\rho\sin\theta\cos\varphi\\ &y=\rho\sin\theta\sin\varphi\\ &z=\rho\cos\theta\\ \end{cases} \tag{2} 球坐标系是物理学中应用最广泛的坐标系之一。
双极坐标系的升维

讲完极坐标系的升维之后，我们再来谈一谈双极坐标系的升维。
将双极坐标系扩展为双极柱坐标系是一个平凡的结论，所以我们直接研究其旋转升维操作。双极坐标系并不是中心对称的，所以绕 x 轴旋转和绕 y 轴旋转形成的坐标系不一样，我们将分别讨论这两种情况。
首先讨论绕 y 轴旋转的情况，此时根据上一篇文章中提到的一般变换公式，我们可以迅速写出其变换公式： \begin{cases} &x=a\frac{\sinh\tau\cos\varphi}{\cosh\tau-\cos\sigma}\\ &y=a\frac{\sinh\tau\sin\varphi}{\cosh\tau-\cos\sigma}\\ &z=a\frac{\sin\sigma}{\cosh\tau-\cos\sigma}\\ \end{cases} \tag{3} 写出公式以后，我们来看看其几何形态：



图二：圆环坐标系的坐标曲面

从上图[2]中可看出，绕 y 轴旋转后，对称的两个阿波罗尼斯圆合并为一个圆环面，其正交圆变成了一个球面。球面与圆环面的交线是一个圆，这个圆被 \varphi 半平面截于一点，确定了三维空间中的唯一一点。根据其等值曲面形状，我们将这种坐标系称为圆环坐标系。
我们之前提到，这种旋转坐标系的 \varphi 的取值永远是 [0,2\pi) ，但是另外两个参数的取值可能和平面时不一样。在平面情况下，我们的 \tau 取实数，其为正时阿波罗尼斯圆在右半平面；其为负时阿波罗尼斯圆在左半平面。绕转后，两个对称的圆成了一个环，自然无所谓左右，所以 \tau 的取值应当改为非负整数。当 \tau 为零时，圆环面退化为一个圆环，也就是焦环。
我们再来看 \sigma 的取值。之前，我们说 \sigma 取值应该满足绝对值小于等于 \frac{\pi}{2} ，但是这时不行了。为什么呢？我们看下图：



图三：平面正交圆

上图是两个正交圆，其中 \sigma=\angle F_1 F F_2 。绕 y 轴旋转后，两个曲面的交线实际上就是以 A 为圆心、以 |AF| 为半径的圆环。然后 \varphi 半平面去截这个圆环，就可以确定三维空间中一个定点。我们仅考虑上半平面，也就是旋转后的上半空间，我们发现 \sigma 从 0 增长到 \pi ，圆环的半径 |AF| 是单调减少的。也就是说为了取遍每一个环， \sigma 必须从 0 增加到 \pi ，而不是 \frac{\pi}{2} 。下半平面是同理的，所以 \sigma 的取值应该是 [-\pi,\pi) 。
这又会引发一个新的问题。你说 |AF| 转一圈是一个环，关键是这两个圆不是只有 F 一个交点啊？总不能无视掉两个圆图上下半平面那个焦点吧？你说的没错，所以为了保证坐标变换的唯一性，我们通常规定坐标变换需要满足： \operatorname{sgn}\sigma=\operatorname{sgn}z\tag{4} 这样一来， \sigma 取正时只能取上半平面那个交点，反之亦然。问题就这样解决了。这时， \sigma 从 -\pi 到 0 刚好对应一系列半径从小到大的负半平面圆环； \sigma 从 0 到 \pi 刚好对应一系列半径从大到小的正半平面圆环，这些圆环和 \varphi 半平面相交确定三维空间中唯一的点，坐标一一对应问题就解决了。
说完了圆环坐标系，我们再来看一看双极坐标系绕 x 轴旋转的情况。此时的坐标变换公式是： \begin{cases} &x=a\frac{\sin\sigma\cos\varphi}{\cosh\tau-\cos\sigma}\\ &y=a\frac{\sin\sigma\sin\varphi}{\cosh\tau-\cos\sigma}\\ &z=a\frac{\sinh\tau}{\cosh\tau-\cos\sigma}\\ \end{cases} \tag{5} 这时的等值曲面示意图如下：



图四：双球坐标系的坐标曲面

从上图[3]可以看出，旋转后的其中一个等值曲面是两个球面，所以这个坐标系叫双球坐标系。双球坐标系这两个球和双极坐标系一样，需要 \tau 分正负描述，所以这里 \tau 的取值仍然是实数。那么双球坐标系 \sigma 的取值范围是多少呢？答案是 [0,\pi] 。
我们这样理解 \sigma 曲面：当 \sigma 为零时，表征的是图三中 F_1 F_2 这个线段，线段旋转后还是一个线段。 \sigma 逐渐增大，表征图三中较大的那个圆的弦 F_1F_2 所对的劣弧绕弦旋转形成的曲面。这个曲面就是图四中像纺锤一样的图形。这个图形和双球中的一个相交形成一条空间曲线，曲线再和 \varphi 半平面相交确定空间中的唯一点。随着 \sigma 增大，“纺锤”会变胖，当 \sigma=\frac{\pi}{2} 时曲面变成一个球心在原点的球面。 \sigma 继续变大，其旋转曲面会变成 F_1F_2 优弧绕弦旋转形成的曲面，这个曲面很像一个“上下等大的葫芦”。当 \sigma 取到最大值时，“葫芦”退化成原 x 轴去掉 F_1F_2 形成的两条射线。这么一来， \sigma 取 0 到 \pi ，其等值曲面的变化刚好囊括了全空间。
这个双球坐标系，在物理学领域也有广泛的应用。需要以其为工具解决的第三十七届全国中学生物理竞赛电学题目成了很多学子心中挥之不去的梦魇。事实上，除了双导体球的极化，我们在解决偏心球壳、球壳和半平面电学系统问题时，也经常使用双球坐标系。因为偏心球壳刚好是“平行”的 \tau 等值曲面，无限大半平面也可以用 \tau 的特殊值描述。
圆环坐标系和双极坐标系的逆变换也很好给出。两者的 \varphi 坐标都满足： \varphi=\arctan(\frac yx)\tag{6} 圆环坐标系下，仍然有： \tau=\ln\frac{d_1}{d_2}\tag{7} 其中： \begin{cases} \rho^2=x^2+y^2\\ d_1^2=(\rho+a)^2+z^2\\ d_2^2=(\rho-a)^2+z^2\\ \end{cases} \tag{8} 另一个坐标满足： \sigma=\operatorname{sgn}(z)\arccos\frac{r^2-a^2}{\sqrt{(r^2-a^2)^2+4a^2z^2}}\tag{9} 其中： r=\sqrt{\rho^2+z^2}\tag{10} 双球坐标系下，我们有： \begin{cases} &\tau=\operatorname{arsinh}(\frac{2az}{Q})\\ &\sigma=\arccos(\frac{R^2-a^2}{Q})\\ \end{cases} \tag{11} 其中： \begin{cases} &R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ &Q=\sqrt{(R^2+a^2)^2-(2az)^2} \end{cases} \tag{12} 这些逆变换公式通过几何方法很容易得出。
我们最后给想要了解更多正交坐标系知识的人推荐一本读物：



图五：推荐读物

这本书[4]中有关于几乎任何你想要了解的坐标系的介绍，包括其复变函数表示。需要的小伙伴可以自行搜索取用。
参考

• ^维基百科 spherical coordinates
  
• ^维基百科 toroidal coordinates
  
• ^wolfram mathworld: bispherical coordinates
  
• ^Field Theory Handbook Moon P H, Spencer D E (1988)  ISBN 978-0-387-02732-6
  

电竞少女心

谢谢[可怜]

谢洪君

哪里有这个电子书？

小小袋鼠

资源只能自己找哦~你可以到z-library这些网站碰碰运气，不行就只能购买咯

重合的世界

继续收藏