平面几何（4）：卡诺定理

男非钻石

前言：笔者在上期作品中搜集资料时发现的一个有趣的定理，在这里分享给大家
一、定义：
三角形 外心到各边距离之和 等于 外接圆半径与内接圆半径之和 ，这一定理称为卡诺定理，在推断代数等领域中的三角形性质中有重要作用。[1]
二、引理：r=4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}
三、证明
假设ABC为外心为D的锐角三角形，外心到AB、BC、AC的距离分别为DG、DH、DF，则在三角形HDB中，由外心性质可得 DB=R,∠HDB=∠A
由此，DH的表达式为 DH=RcosA. 同理 DG=RcosC、DF=RcosB 。
因此， DG+DH+DF=R(cosA+cosB+cosC)=4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}+R
所以 DG+DH+DF=R+r
当ABC为钝角三角形，且角B大于90°时，则有
DH=RcosA，DF=Rcos(π-B)=-RcosB ，DG=RcosC
所以 DG+DH-DF=R(cosA+cosB+cosC)=R+r ，结论相同，卡诺定理得证。[2]
参考

• ^源自百度百科
  
• ^卡诺定理的一个证明 https://xueshu.baidu.com/usercenter/paper/show?paperid=a52dde9e6ff5e8b96971540b8259e6ca&tn=SE_baiduxueshu_c1gjeupa&ie=utf-8&site=baike
  

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