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注：
(1)作者今年初二，没什么数学底子，大家看个乐子
(2)本文部分引理来自沈文选《平面几何证明方法全书》
(3)未完待续，未来会补充一些五心间的距离公式即证明
本文主要证明以下定理：
\mathrm{Thm.} (Feuerbach定理)任意一个三角形的九点圆与其内切圆与三个旁切圆均相切.
知识铺垫——九点圆
首先我们需要了解一个三角形的九点圆是什么
\mathrm{Thm}. (九点圆)设有 \triangle ABC , 其三边中点分别为 M_A,M_B,M_C , 三条高到对边的垂足为 H_A,H_B,H_c , 垂心为 H ， AH,BH,CH 的中点分别为 T_A,T_B,T_C ，则 M_A,M_B,M_C,H_A,H_B,H_C,T_A,T_B,T_C 九点共圆，且其圆心 V 恰为 OH 中点，半径为 \displaystyle{\frac R2}
证明：设 V 为 OH 中点. 我们以下证明 V 为 \triangle M_AT_AH_A 的外心，且 \triangle M_AT_AH_A 外接圆半径为 \displaystyle\frac R2 , 从而说明 M_A,M_B,M_C,T_A,T_B,T_C,H_A,H_B,H_C 均在以 V 为圆心， \displaystyle\frac R2 为半径的圆上.
易知 \displaystyle AT_A=T_AH=\frac12AH=R\cos A=OM_A , 结合 AH\parallel OM_A 可证明四边形 AT_AM_AO 是平行四边形，且 \triangle T_AHV\cong\triangle M_AOV , 于是 V 为 T_AM_A 中点且 T_AM_A=AO=R , 结合 \angle T_AH_AM_A=90^\circ 即证 \Box
一些有关距离和三角形计算的引理
为下文行文方便，我们首先阐述一些引理
\mathrm {Lem}. (内心距离公式)设 \triangle ABC 三边长度分别为 a,b,c ,内心为 I ， P 为 \triangle ABC 所在平面内任意一点，则 $$\displaystyle PI^2=\frac{aPA^2+bPB^2+cPC^2-abc}{a+b+c}$$
证明：设 D 为 AI 延长线与 BC 的交点，于是 \displaystyle BD=\frac{ac}{b+c},\;CD=\frac{ab}{b+c} 依 \mathrm{Stewart} 定理，有 \displaystyle PD^2=\frac b{b+c}\cdot PB^2+\frac c{b+c}\cdot PC^2-\frac{a^2bc}{(b+c)^2} . (对 \triangle PBC 使用)
而 \displaystyle \frac{AI}{ID}=\frac{b+c}a,\;AD^2=\frac{4bcp}{(b+c)^2}(p-a) , 其中 2p=a+b+c ，依 \mathrm{Stewart} 定理，有
\displaystyle PI^2=\frac{AI}{AD}\cdot PD^2+\frac{ID}{AD}\cdot PA^2-AI\cdot ID=\frac{b+c}{2p}\cdot PD^2+\frac a{2p}\cdot PA^2-\frac{abc(p-a)}{p(b+c)} ，将前文计算的 PD^2 代入此式即得结论 \Box
\mathrm{Lem.} (重心距离公式)设 \triangle ABC 三边长度分别为 a,b,c ,重心为 G ， P 为 \triangle ABC 所在平面内任意一点，则
\displaystyle PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+\frac13(a^2+b^2+c^2) （证明思路同上）
\mathrm{Lem.} 设 \triangle ABC 三边长度分别为 a,b,c , 其外接圆，内切圆半径分别为 R,r , 则
\displaystyle(1)\;2Rr=\frac{abc}{a+b+c}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\;r^2+4Rr=\frac14(a+b+c)^2-\frac12(a^2+b^2+c^2)
证明：(1) 将 pr=S,\,4RS=abc 两式相乘即知，其中 \displaystyle S=S_ {\triangle ABC},\,p=\frac12(a+b+c)
(2) 由海伦公式知 S^2=p(p-a)(p-b)(p-c) , 结合 pr=S 知 \displaystyle r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}p ，将该式与(1)中所得式相加即得. \Box
五心部分距离公式
\mathrm{Thm.} (五心间的距离公式)设 \triangle ABC 三边长度分别为 a,b,c , 重心为 G ，内心为 I , 垂心为 H , 外心为 O ，其外接圆与内切圆半径分别为 R,\,r ，则有：
(1)\;OI^2=R^2-2Rr
(2)\;OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)
\displaystyle(3)\;IH^2=4R^2-\frac{a^3+b^3+c^3+abc}{a+b+c}
证明：(1)在内心距离公式中令 P=O 并利用 \displaystyle 2Rr=\frac{abc}{a+b+c} 即得
(2)在重心距离公式中令 P=O ，并利用 OH=3OG 即得
(3)在内心距离公式中令 P=H ，并利用 HA^2=4R^2\cos^2A=4R^2-a^2 等三式即得 \Box
定理的证明及思路
为了证明两圆相切，最直接的思路是证明圆心距等于半径之和（差），为此我们尝试计算 VI
在 \triangle OHI 中使用中线长公式，并应用前文提到的距离公式知
\displaystyle VI^2=\frac12OI^2+\frac12HI^2-\frac14OH^2\\ \displaystyle =\frac{R^2}2-Rr+2R^2-\frac12\cdot\frac{a^3+b^3+c^3+abc}{a+b+c}-\frac94R^2+\frac{a^2+b^2+c^2}4\\ \displaystyle =\frac{R^2}4-Rr+\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}p\\= \displaystyle \frac{R^2}4-Rr+r^2\\ \displaystyle =(\frac R2-r)^2
于是我们有 \displaystyle VI=\frac12R-r , 由前文知九点圆半径为 \displaystyle\frac R2 , 故九点圆与内切圆内切.
（未完待续） |
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发表于 2022-12-30 17:52:38