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今天开始介绍空间中一些基本几何体的方程，介绍完了再来应用一哈.
Ⅰ.平面的基底与平面的参数方程
设平面中不共线三点为A(x_{1},y_{1},z_{1})，B(x_{2},y_{2},z_{2})，C(x_{3},y_{3},z_{3})，
则向量\overset{\rightarrow }{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})，\overset{\rightarrow }{AC}=(x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1})组成平面基底.
设平面内任意一点P(x,y,z)，存在实数\lambda ，\mu 使向量\overset{\rightarrow }{AP}=\lambda \cdot \overset{\rightarrow }{AB}+\mu \cdot \overset{\rightarrow }{AC}，
转化为坐标形式有\left\{\begin{array}{l} x=\lambda x_{2}+\mu x_{3}+(1-\lambda -\mu )x_{1}\\ y=\lambda y_{2}+\mu y_{3}+(1-\lambda -\mu )y_{1}\\ z=\lambda z_{2}+\mu z_{3}+(1-\lambda -\mu )z_{1} \end{array}\right.
先挂着吧，慢慢研究，还是希望能够服务于高中生解题.
Ⅱ.平面的法向量与平面的点法式
平面的垂线被称作平面的法线(Normal line)，法的意思是，直线的方向规定了平面延展的方向.在计算机图形学中经常和这玩意打交道.
设平面\alpha 的法向量为\overset{\rightarrow }{n}=(a,b,c)，平面内一定点A(x_{0},y_{0},z_{0})，
则对于平面内任意一点P(x,y,z)，\overset{\rightarrow }{PA}\cdot \overset{\rightarrow }{n}=0(线面垂直的定义)，
故点P坐标满足a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0，即平面的点法式方程.
将其展开得到ax+by+cz+d=0，其中d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})，即平面方程的一般式，其为含有三个变量的一次多项式，且多项式系数为法向量的三维坐标，例如：\overset{\rightarrow }{v}=(1,2,3)为平面x+2y+3z+4=0的法向量.
显然这可以帮高中生求平面的法向量，例如：
已知平面过点A(0,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，求平面ABC的法向量.
解：
设平面ABC方程为ax+by+cz+d=0，
\left\{\begin{array}{l} d=0\\ a+c+d=0\\ b+c+d=0 \end{array}\right.，解得\overset{\rightarrow }{n}=(1,1,-1)，当然这只是其中一个解.
换一个随意点的例子：
已知平面过点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(2,1,1)，求平面ABC的法向量.
解：
设平面ABC方程为ax+by+cz+d=0，
\left\{\begin{array}{l} a+2b+3c+d=0\\ 2a+3b+4c+d=0\\ 2a+b+c+d=0 \end{array}\right.，即\left\{\begin{array}{l} a+b+c=0\\ 2b+3c=0 \end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l} a=1\\ b=-3\\ c=2\\ d=-1 \end{array}\right.，
平面方程为x-3y+2z=1，其法向量为\overset{\rightarrow }{n}=(1,-3,2).
①.显然这和数量积等于0那套搞法就是一回事；
②.有没有根据两点坐标求直线方程的感觉；
③.我应该好好学一下线性代数，还有语文.
Ⅲ.截距式
考虑一个特殊的平面，过点A(x_{0},0,0)，B(0,y_{0},0)，C(0,0,z_{0})，
设平面ABC方程为ax+by+cz+d=0，
\left\{\begin{array}{l} x_{0}a+d=0\\ y_{0}b+d=0\\ z_{0}c+d=0 \end{array}\right.，不妨设d=-1，得\frac{x}{x_{0}}+\frac{y}{y_{0}}+\frac{z}{z_{0}}=1，其法向量为\overset{\rightarrow }{n}=(\frac{1}{x_{0}},\frac{1}{y_{0}},\frac{1}{z_{0}}).
像不像平面中直线的截距式？没别的意思，就是个小福利.
Ⅳ.点到平面的距离
平面外一点为P(x_{0},y_{0},z_{0})，平面方程为ax+by+cz+d=0，求点到平面的距离.
解：
取平面上一点Q(x_{1},y_{1},z_{1})，点到平面的距离为\overset{\rightarrow }{PQ}在法向量\overset{\rightarrow }{n}=(a,b,c)上的投影的绝对值.
根据数量积定义\overset{\rightarrow }{PQ}\cdot \overset{\rightarrow }{n}=| \overset{\rightarrow }{PQ}| \cdot | \overset{\rightarrow }{n}| \cdot \cos \theta ，
故
d=\left| \left| \overset{\rightarrow }{PQ}\right| \cdot \cos \theta \right| =\frac{\left| \overset{\rightarrow }{PQ}\cdot \overset{\rightarrow }{n}\right| }{\left| \overset{\rightarrow }{n}\right| }=\frac{\left| a(x_{1}-x_{0})+b(y_{1}-y_{0})+c(z_{1}-z_{0})\right| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \\
点Q(x_{1},y_{1},z_{1})在平面ax+by+cz+d=0上，有ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0，带入上式得
d=\frac{\left| ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
是不是和他二维兄弟一个模子刻出来的.
二维空间中的直线，三维空间中的平面，两者与所在空间的关系是相同的. |
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发表于 2022-9-20 12:27:23