三平面位置关系与线性方程组的秩

水蜜桃奶芙

设有三张平面方程 a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=b_i,i=1,2,3 ，它们组成的线性方程组的系数矩阵为 A ，增广矩阵为 \bar A ，讨论秩与平面位置关系。
1. r(A)=r(\bar A)=1
r(A)=1 说明了法向量全指向一个方向， r(A)=r(\bar A)<3 说明有无穷多解，即三平面有交线。则三平面重合。


2. r(A)=1,r(\bar A)=2
法向量仍指向一个方向，但增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩，说明三平面没有交点，则两平面重合，另一个平面与它们平行；或三平面平行




3.r(A)=r(\bar A)=2
法向量不指向一个方向，三平面有交点
则三平面交于一条直线；或两平面重合，与另一平面相交




4. r(A)=2,r(\bar A)=3
三平面无交点，法向量不指向一个方向
则三平面两两相交且互不平行；或两平面平行，另一平面与它们相交




5. r(A)=r(\bar A)=3  
方程组仅有唯一解，则三平面交于一点

微呜

那个能问一下第四种情况a的秩都为2了，为什么会不互相平行呢

欢古

秩为2不代表能找到两个向量对应成比例，而有可能只是第三个向量可由另外两个无关的向量线性表示，比如你考虑系数矩阵[1,0,0;0,1,0;1,1,0]。可以看看图，两种情况都有画。

有你就有我

请问：秩是怎么算出来的。

山花浪漫

系数矩阵秩为1增广矩阵秩不为1应该是什么情况呢

拐得很

谢谢答主解惑

抿茗思弈

比例

中材国研建筑材料研究所

我不理解，为什么秩会和平面平行扯上关系

海千山千

[赞同][赞同][赞同]太棒啦，刚刚学完三个平面的关系，就找到这个关于秩的[赞同]

谭晓珊

从这个角度是比较好理解了，但是还是不明白，增广矩阵的向量有什么几何意义呢，换言之增广矩阵的秩除了能从解个数来理解，还可以从什么角度来理解呢。